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丘成桐:我们真的活在十维时空吗?
2018-1-6 1:06:00           作者: 中国物理学会期刊网
作者简介:丘成桐为美国哈佛大学数学与物理教授,美国科学院院士,中国科学院外籍院士,菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖得主。发展了强有力的偏微分方程技巧,使得微分几何学产生了深刻的变革,解决了卡拉比(Calabi)猜想、正质量猜想等众多难题,影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。筹资成立浙江大学数学科学研究中心、香港中文大学数学研究所、北京晨兴数学中心和清华大学丘成桐数学科学中心等学术机构,并担任主任;1998 年创立世界华人数学家大会(ICCM),毎三年举办一次。由于对中国数学发展的突出贡献,获得 2003 年度中华人民共和国科学技术合作奖。科普著作有《大宇之形》(2012)、《从万里长城到巨型对撞机》(2016)、《简史:哈佛数学150年》(即将出版),主编科普杂志《数理人文》和丛书《数学与人文》。

译者简介:夏木青为香港专业数学科普译者。


本文翻译并整理自丘成桐推广《大宇之形》之各场英文演讲稿,刊登于《数理人文》杂志第2期(2014/6/15),欢迎读者朋友分享、评论和反馈建议。媒体或机构如需转载,请联系波士顿国际出版社或《数理人文》。

重点摘要

● 丘成桐因证明卡拉比猜想获得菲尔兹奖。由此确立的卡拉比-丘空间,在爱因斯坦的广义相对论里,相当于竟然存在重力非零的真空宇宙!

● 弦论是统一四种作用力最成熟的物理理论,它断言宇宙是十维的时空,除了日常的四维时空,另外卷缩的六维微小空间正是卡拉比-丘空间。

● 弦论高度整合物理和数学的深刻洞识,反过来促进了数学的新进展,镜对称预言了数学家无法想像的公式,震惊数学界。

今天要讲的,是数学和物理如何互动互利,这种关系在卡拉比-丘空间(Calabi-Yau space)和弦论的研究中尤为突出。这个题目非出偶然,它正是我和纳迪斯(Steve Nadis)的新书《大宇之形》的主旨。书中描述了这些空间背后的故事,个人的经历和几何的历史。

我写这本书,是希望读者透过它,了解数学家是如何看这世界的。数学并非一门不食人间烟火的抽象学问,相反地,它是我们认识物理世界不可或缺的工具。现在,就让我们沿着时间,或更确切地,沿着时空从头说起。

站在巨人的肩上——黎曼几何学

1969 年,我到了美国加州大学柏克莱分校念研究所。在那里我了解到,19 世纪几何学在高斯和黎曼的手上经历了一场翻天覆地的变化。黎曼的创见,颠覆了前人对空间的看法,给数学开辟了崭新的途径。

几何的对象,从此不再局限于平坦而线性的欧几里得空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。在这些空间了,距离和曲率都具意义。此外,在它们上面还可以建立一套适用的微积分,作为研究与分析的工具。

大约五十年后,爱因斯坦发觉包含弯曲空间的这种几何学,刚好可用来统一牛顿的重力理论和狭义相对论,沿着新路迈进,他终于完成了著名的广义相对论。在研究所的第一年,我念了黎曼几何学。它与我在香港时学的古典几何不一样,过去我们只会讨论在线性空间里的曲线和曲面。在柏克莱,我修了史帕尼尔(Edwin Spanier)的代数拓朴、劳森(Blaine Lawson)的黎曼几何、莫瑞(Charles Morrey)的偏微分方程。此外,我还旁听了包括广义相对论在内的几门课,我如饥似渴地尽力去吸收知识。

当时柏克莱数学系大约有 500 名研究生,地狭人众,大家都没有研究室。课余的时间我都呆在数学图书馆,它简直成了我的辨公室。我孜孜不倦地找寻有兴趣的材料来看。圣诞节到了,别人都回去和家人团聚。我却在读《微分几何期刊》(Journal of Differential Geometry)上米尔诺(John Milnor)的一篇论文 , 它阐述了空间里曲率与基本群(fundamental group)的关系。我既惊且喜,因为它用到了我刚刚学过的东西。

米尔诺的文笔是如此流畅,我通读此文毫不费力。他文中提及普莱斯曼(Alexandre Preissman)的另一论文,我也极感兴趣。从这些文章中可以见到,负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束,必须具备某些特定的性质。

基本群是拓朴上的概念,基本上考虑的是从定点出发的所有回圈,并将可互相形变的回圈视为等价。普莱斯曼定理说,负曲率流形的基本群中,任两个可交换的元素,皆能写成某元素的自乘。这个结果很引人入胜,我试着推广普莱斯曼的结果,想看看如果空间曲率非正,结果又是如何?这是我平生第一次将空间的曲率(精确的几何描述)和比较粗糙、只留意形态特征的数学理论(称为拓朴学)联系起来。

丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

图中每一列的形体,在拓朴学中都被视为相同,虽然几何性质显然不同。第一列是 2 维的球面;第二列是 2 维的环面。

虽然,拓朴也是一种研究空间的学问,但它不涉及距离。从这角度来看,拓朴所描绘的空间并没有几何所描绘的那样精细。几何要量度两点间的距离,对空间的属性要知道更多。这些属性可以由每一点的曲率表达出来,这便是几何了。

举例而言,甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的几何,但它们的拓朴却无二样。同样,球面和椭球面的几何迥异但拓朴相同。作为拓朴空间,球面的基本群是无聊的,在它上面的任何闭曲线,都可以透过连续的变动而缩成一点。但环面(torus)则否,在它上面可以找到某些闭曲线,无论如何连续地变动都不会缩成一点。由此可见,球面和环面具有不同的拓朴。

丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

球面上所有的回圈都可以缩到一个点,但环面上有些回圈,却没有这样的性质。这表示球面和环面的拓朴不一样。

普莱斯曼定理讨论了几何(曲率)如何影响拓朴(基本群),我做了点推广。在影印这些札记时,一位数学物理的博士后费雪(Arthur Fisher)嚷着要知道我干了什么。他看了那些札记后,说任何把曲率与拓朴扯上关系的结果,都会在物理学中用上。这句话在我心中留下烙印,至今不忘。

弯曲就是重力——广义相对论

狭义相对论告诉我们,时间和空间浑为一体,形成时空,不可分割。爱因斯坦进一步探究重力的本质,他的友人格罗斯曼(Marcel Grossmann)是数学家,爱氏透过他认识到黎曼和黎奇(Ricci)的工作。黎曼引进了抽象空间的概念,并且讨论了其上的距离和曲率。爱因斯坦利用这种空间,作为他研究重力的舞台。

爱因斯坦也引用了黎奇的工作,以他创造的曲率来描述物质在时空的分布。黎奇曲率乃是曲率张量的迹(trace),是曲率的某种平均值。它满足的毕安奇恒等式(Bianchi identity),奇妙地可以看成一条守恒律。爱因斯坦利用了这条守恒律来把重力几何化,从此我们不再视重力为物体之间的吸引力。新的观点是物体的存在使空间产生了曲率,重力应当看作是这种曲率的表现。

对历史有兴趣的读者,爱因斯坦的自家说辞更具说服力。他说:

这套理论指出重力场由物质的分布决定,并随之而演化,正如黎曼所猜测的那样,空间并不是绝对的,它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。

当然,爱因斯坦建立这个理论的过程绝非坦途。一开始,他想将重力理论和狭义相对论结合却遭遇失败。后来,他意识到这是非线性理论,并以重力定律在所有坐标系皆相同的等效原理(equivalence principle)作为指导原则。1912 年,他领略到必须以带劳仑兹符征(Lorentzian signature)的黎曼度量来作为重力势。另外,它还必须解决两个问题,首先是如何将狭义相对论的场方程转换到有黎曼度量的情况,然后还需要厘清决定黎曼度量的法则。1912 年到 1914 年之间,他和格罗斯曼合作,发现第一个问题要使用黎曼几何上的黎奇与李维奇威塔(LeviCivita)所发展的微分计算法,第二个问题的解答,则要应用黎曼建立的二阶微分不变量。

丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

球面上的“直线” 就是大圆,经线都是大圆,但纬线除了赤道之外都不是大圆。想像有两个人如图从赤道开始往北方走,明明是“平行”开始的,却不自觉愈走愈近,好像有力在牵引着彼此。究其原因在于球面的曲率是正的,不像平面的曲率等于零。这说明曲率为何可解释为力。

爱因斯坦一直奋斗到 1915 年才找到正确的数学形式,建立了广义相对论,并找到能测试这个理论的天文实验方法。大概在同时,知名数学家希尔伯特(David Hilbert)也独立找到场方程的正确形式,但他没能更近一步和实验结合。

讲到自己的成就时,爱因斯坦写道:

就学问本身而言,这些理论的推导是如此行云流水,一气呵成,聪明的人花点力气就能掌握它。然而,多年来的探索,苦心孤诣,时而得意,时而气馁,到事竟成,其中甘苦,实在不足为外人道。

爱因斯坦研究重力的经历,固然令人神往,他的创获更是惊天动地。但是黎曼几何学在其中发挥的根本作用,也是昭昭然不可抹杀的。

半个多世纪后,我研习爱因斯坦方程组时,发现物质只能决定时空的部分曲率,为此心生困惑,自问能否找到一个真空,即没有物质的时空,但其曲率并不平凡,即其重力非零。当然,著名爱因斯坦方程的史瓦兹柴德(Schwarzschild)解具有这些性质。它描述的乃是非旋转的黑洞,这是个真空,但奇怪地,极端的重力产生了质量。然而这个解具有一个奇点(singularity),在那里所有物理的定律都不适用。

我要找的时空不似史瓦兹柴德解所描绘的那样是开放无垠的,反之,它是光滑不带奇点,并且是紧致(compact)而封闭的。即是说,有没有一个紧致而不含物质的空间,即封闭的真空宇宙,但其上的重力却不等于零?这问题在我心中挥之不去,我认为这种空间并不存在。如果能从数学上加以论证,这会是几何学上的一条美妙的定理。

柳暗花明又一村——卡拉比猜想

从上世纪 70 年代开始,我便在考虑这个问题。当时,我并不知道几何学家卡拉比(Eugenio Calabi)早已提出差不多同样的问题。他的提问透过颇为复杂的数学语言来表述,其中牵涉及凯勒流形(Kähler manifold)、黎奇曲率、陈氏类(Chern class)等等,看起来跟物理沾不上边。但事实上,卡拉比抽象的猜想也可以翻过来,变为广义相对论里的一个问题。

丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

卡拉比和丘成桐摄于哈佛科学中心。

新的内容乃是要求要找的时空具有某种内在的对称性,这种对称物理学家称之为超对称(supersymmetry,用数学语言来说,在这个情况指的就是凯勒流形)。于是上述的问题便变成这样:能否找到一个紧致而不带物质的超对称空间,其中的曲率非零(即具有重力)?

卡拉比猜想不仅指出封闭而具重力的真空的存在性,而且还给出系统地大量构造这类空间的途径,大家都认为世间那有这样便宜的东西可捡。可是,纵然不乏怀疑卡拉比猜想的理由,但没人能够反证它。我与其他人一起试图证明卡拉比猜想所描述的空间并不存在,花了差不多三年。

1973 年我出席了在斯坦福大学举行的国际几何会议。这会议是由奥瑟曼(Robert Osserman)和陈省身老师组织的。也许是由于我与两人的关系,我有幸作出两次演讲。在会议期间,我告诉了一些相识的朋友,说已经找到了卡拉比猜想的反例。消息一下子传开了,徇众要求,当天晚上另作报告。那晚 30 多位几何工作者聚集在数学大楼的三楼,其中包括卡拉比、陈师和其他知名学者。我把如何构造反例说了一遍,大家似乎都非常满意。

丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

陈省身和丘成桐。1992 年摄于台湾中央研究院。

卡拉比还为我的构造给出一个解释。大会闭幕时,陈师说我这个反例或可视为整个大会最好的成果,我听后既感意外,又兴奋不已。

可是,真理总是现实的。两个月后我收到卡拉比的信,希望我厘清反例中一些他搞不清楚的细节。看见他的信,我马上就知道我犯了错。接着的两个礼拜,我不眠不休,希望重新构造反例,身心差不多要垮掉。每次以为找到一个反例,瞬即有微妙的理由把它打掉。

经过多次失败后,我转而相信这猜想是对的。于是我便改变了方向,把全副精力放在猜想的证明上。花了几年工夫,终于在 1976 年证明了这个重要的猜想。好消息是,证明卡拉比猜想,也让我之前构造的许多“反例”变成重要的定理。

另外,在斯坦福那个会议上,物理学家葛洛克(Robert Geroch)在报告中谈到广义相对论中的一个重要课题——正质量猜想(positive mass conjecture)。这猜想指出,在任何封闭的物理系统中,总质量(能量)必须是正数。我和孙理察(Richard Schoen)埋头苦干,利用了最小曲面(minimal surface),证明了正质量猜想。

这段日子的工作把我引到广义相对论,我们证明了几条有关黑洞的定理。与相对论学者交流的愉快经验,使我更能开放怀抱与物理学家合作。几年之后,更参与了弦论的发展。

在证明卡拉比猜想时,我引进了一个方案,用以寻找满足卡拉比方程的空间,这些空间现在通称为卡拉比-丘空间。我深深地感到,我无心插柳,已经进入了一界数学高地。它必定与物理有关,并能揭开自然界深深埋藏的隐祕。然而,我并不知道这些想法在那里会大派用场,事实上,当时我懂得的物理也不多。

抚弦轻拨十维琴——弦论

1984 年,我接到物理学家赫罗维兹(Gary Horowitz)和史聪闵格(Andy Strominger)的电话。他们兴冲冲的谈到有关宇宙真空状态的一个模型,这模型是建基于一套叫弦论的崭新理论。

弦论的基本假设是,所有最基本的粒子都是由不断振动的弦线所组成的,这些弦线非常非常细小。某些弦论要跟量子力学相容不排斥,时空必须容许某种超对称性,同时时空还必须是十维的。

我在解决卡拉比猜想时证明存在的空间,得到赫罗维兹和史聪闵格的喜爱。他们相信这些空间会在弦论中担当重要的角色,原因是它们具有弦论所需的那种超对称性。他们希望知道这种看法对不对,我告诉他们,那是对的,他们听到后十分高兴。

不久,威腾(Edward Witten)打电话给我,我们是上一年在普林斯顿相识的。他认为就像当年量子力学刚刚面世那样,理论物理学最激动人心的时刻来临了。他说每一位对早期量子力学有贡献的人,都在物理学史上留名。爱因斯坦在他的后半生花了三十年致力于统一理论,但至死也未竟全功。早期弦学家如葛林(Michael Green)和史瓦兹(John Schwarz)等人的重要发现,有可能终究把所有自然力统一起来。

丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

六维卡拉比-丘空间的二维“切片”。印第安那大学 Andrew

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