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数学的三次危机
2019-10-07           作者: 数学扫地僧

在数学几千年的发展历程上,曾发生过三次动摇数学根基的危机,其中每一次都曾使得人们尤其是数学家怀疑数学的合理性,然而经过无数数学家的力挽狂澜,这三次危机不仅没有让数学失去其合理性,反而使其变得更加强大。

第一次数学危机

“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理(也就是我国俗称的勾股定理)却恰恰成了其信仰的终结者。

毕达哥拉斯学派中的一个“好事之徒希伯斯(Hippasu)对学派坚守的“万物皆数”首先表示了怀疑。他思考了一个问题:边长为1的正方形其对角线有多长呢?一番思索演算之后,他发现这一长度既不是整数,也不是分数,“万物皆数”的信仰就此崩塌。相传恼羞成怒的学派成员将希伯斯淹死在了海里,真理不仅没有给他荣誉反而招致杀身之祸,可悲亦可叹!

数学的三次危机​​

自被希伯斯发现之后,√2这个数学史上的第一个无理数便登上了舞台。然而这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击,对于当时所有古希腊人的观念都是巨大的冲击。更为恼火的是,面对这一打击,人们手足无措,于是便直接导致了人们认识上史无前例的危机,从而导致了西方数学史上一场浩大的风波,史称“第一次数学危机”。
 

数学的三次危机

第二次数学危机

自微积分被发明之后,质疑之声就从未消停过。相当长的时间内,数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的,但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击,英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。如果这一危机无法解除,那无数由微积分理论所获得的成果都将遭受无情的质疑。这也就是数学史上的第二次危机。

数学的三次危机

转机出现在柯西,魏尔斯特拉斯等人用极限的方法定义无穷小量之后,这时微积分理论经过发展和完善才真正具有了严格的理论基础,从而使得数学大厦变得更加坚实牢固可靠,危机便也解除。
 

第三次数学危机

“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。然而在1903年,集合论被发现是有漏洞的!这一发现就像在平静的水面上投下了一块巨石,它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。英国数学家罗素就是这一危机的“始作俑者”。

数学的三次危机

罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成。之后罗素提出问题:S是否属于S呢?根据逻辑学上的排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据S的定义,S就属于S。所以无论如何都会产生矛盾!一时间,数学家为之恐慌,看似数学大厦即将樯倾楫摧不复存焉。第三次数学危机便自此爆发。

但顽强的数学家不会就此罢手,他们希望通过改造康托的集合论以便消除悖论。1908年,策梅罗提出了第一个公理化集合论体系,后来经其他数学家改进,称之为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷,然而也并非完美无瑕。除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如诺伊曼等人提出的NBG系统等。相关的改进工作时至今日也为停下脚步。

总结来说,三次数学危机就是关于无理数,无穷小,罗素悖论的危机。但“危机”恰正好是“生机”,三次数学危机极大地促进了数学的严格化发展,使之成为了真正严谨的科学。
 

数学的三次危机


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